凸函数

凸函数,是数学函数的一类特征。凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数f,而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数(该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的,下凸)。
中文名
凸函数
外文名
convex function
类    别
数学
性    质
局部最小值即全局最小值
定义域
实线性空间
注    意
国内外凹凸性定义不同

目录

基本简介

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凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。[1]
注意:中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。Concave Function指凸函数。但在中国大陆涉及经济学的很多书中,凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的,也就是和数学教材是反的。举个例子,同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反,本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集,而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集,两者定义正好相反。
另外,也有些教材会把凸定义为上凸,凹定义为下凸。碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。

凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数f,而且对于凸子集C中任意两个向量

 

, f((x1+x2)/2)<=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数(该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的,下凸)。

于是容易得出对于任意(0,1)中有理数p,

 

。如果f连续,那么p可以改成任意(0,1)中实数。

若这里凸集C即某个区间I,那么就是:设f为定义在区间I上的函数,若对I上的任意两点

 

和任意的实数

 

,总有

则f称为I上的凸函数,当且仅当其上境图(在函数图像上方的点集)为一个凸集
判定方法可利用定义法、已知结论法以及函数的二阶导数
对于实数集上的凸函数,一般的判别方法是求它的二阶导数,如果其二阶导数在区间上非负,就称为凸函数。(向下凸)
如果其二阶导数在区间上恒大于0,就称为严格凸函数。

属性

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性质

定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续,且在除可数个点之外的所有点可微。如果C是闭区间,那么f有可能在C的端点不连续。
一元可微函数在某个区间上是凸的,当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元连续可微函数在区间上是凸的,当且仅当函数位于所有它的切线的上方:对于区间内的所有x和y,都有f(y) > f(x) + f ‘(x) (y − x)。特别地,如果f ‘(c) = 0,那么c是f(x)的最小值。
一元二阶可微的函数在区间上是凸的,当且仅当它的二阶导数是非负的;这可以用来判断某个函数是不是凸函数。如果它的二阶导数是正数,那么函数就是严格凸的,但反过来不成立。例如,f(x) = x4的二阶导数是f “(x) = 12 x2,当x = 0时为零,但x4是严格凸的。
更一般地,多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的,当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。
凸函数的任何极小值也是最小值。严格凸函数最多有一个最小值。
对于凸函数f,水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤ a}(a ∈ R)是凸集。然而,水平子集是凸集的函数不一定是凸函数;这样的函数称为拟凸函数
延森不等式对于每一个凸函数f都成立。如果X是一个随机变量,在f的定义域内取值,那么(在这里,E表示数学期望。)
凸函数还有一个重要的性质:对于凸函数来说,局部最小值就是全局最小值。
综上所述,凸函数的主要性质有:
1.若f为定义在凸集S上的凸函数,则对任意实数β≥0,函数βf也是定义在S上的凸函数;
2.若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数,则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数;
3.若fi(i=1,2,…,m)为定义在凸集S上的凸函数,则对任意实数βi≥0,函数βifi也是定义在S上的凸函数;
4.若f为定义在凸集S上的凸函数,则对每一实数c,水平集Sc={x|x∈S,f(x)≤c}是凸集.[2]

定义

定义1f(x)在区间I上有定义,f(x)在区间I称为是凸函数当且仅当:

 

,有

 

上式中“≥”改成“>”则是严格凸函数的定义.

定义2f(x)在区间I上有定义,f(x)在区间I称为是凸函数当且仅当:

 

, 有

 

定义3f(x)在区间I上有定义,f(x)在区间I称为是凸函数当且仅当:,有

 
定义4f(x)在区间I上有定义,当且仅当曲线y=f(x)的切线恒保持在曲线以下,则成f(x)为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线f(x)为严格凸的.
引理1定义2与定义3等价.
引理2若连续,则定义1,2,3等价.

微积分

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如果f和g是凸函数,那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x)也是凸函数。
如果f和g是凸函数,且g递增,那么h(x) = g(f(x))是凸函数。
凸性在仿射映射下不变:也就是说,如果f(x)是凸函数,那么g(y) = f(Ay + b)也是凸函数,其中
如果f(x,y)在(x,y)内是凸函数,且C是一个凸的非空集,那么在x内是凸函数,只要对于某个x,有。

初等运算

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1、如果fg是凸函数,那么m(x)=max{f(x),g(x)}h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数。
2、如果fg是凸函数,且g递增,那么h(x)=f(g(x))是凸函数。
3、凸性在仿射映射下不变:也就是说,如果f(x)是凸函数,那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数

举例子

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函数f(x) = x&sup2;处处有,因此f是一个(严格的)凸函数。
绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数,虽然它在点x = 0没有导数
当1 ≤ p时,函数f(x) = | x | p是凸函数。
定义域为[0,1]的函数f,定义为f(0)=f(1)=1,当0函数x3的二阶导数为6x,因此它在x ≥ 0的集合上是凸函数,在x ≤ 0的集合上是凹函数
每一个在内取值的线性变换都是凸函数,但不是严格凸函数,因为如果f是线性函数,那么f(a + b) = f(a) + f(b)。如果我们把“凸”换为“凹”,那么该命题也成立。
每一个在内取值的仿射变换,也就是说,每一个形如f(x) = aTx + b的函数,既是凸函数又是凹函数。
每一个范数都是凸函数,这是由于三角不等式
如果f是凸函数,那么当t > 0时,g(x,t) = tf(x / t)是凸函数。
单调递增但非凸的函数包括和g(x) = log(x)。
非单调递增的凸函数包括h(x) = x2和k(x) = − x。
函数f(x) = 1/x2,f(0)=+∞,在区间(0,+∞)内是凸函数,在区间(-∞,0)内也是凸函数,但是在区间(-∞,+∞)内不是凸函数,这是由于x = 0处的奇点。
某些教材的凸函数定义与此定义相反,即凸函数与凹函数相反。如北京大学版本和中山大学的数学教材。

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