古典概型

古典概型也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯 (Laplace ) 提出的。如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的,且每个单位事件发生的可能性均相等,则这个随机试验叫做拉普拉斯试验,这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下,随机实验所有可能的结果是有限的,并且每个基本结果发生的概率是相同的。古典概型是概率论中最直观和最简单的模型,概率的许多运算规则,也首先是在这种模型下得到的。
中文名
古典概型
外文名
classical models of probability
应用学科
数学
适用领域范围
数学 统计学
又    名
等可能概型
样本空间
有限个元素

定义

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(1) 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件出现的可能性相等。
具有以上两个特点的概率模型是大量存在的,这种概率模型称为古典概率模型,简称古典概型,也叫等可能概型。

特点

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古典概型的特点

有限性(所有可能出现的基本事件只有有限个)
等可能性(每个基本事件出现的可能性相等)

基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的。
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。

古典概型的判断

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一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。

概率公式

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P(A)=

 

=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n

如果一次实验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等,那么每一个基本事件的概率都是

 

;如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率为P(A)=

 

=A包含的基本事件的个数m/基本事件的总数n[1]

基本步骤

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(1)算出所有基本事件的个数n;[2]

(2)求出事件A包含的所有基本事件数m;
(3)代入公式P(A)=m/n,求出P(A)。

模型的转换

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古典概率模型是在封闭系统内的模型,一旦系统内某个事件的概率在其他概率确定前被确定,其他事件概率也会跟着发生改变。概率模型会由古典概型转变为几何概型

举例

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投掷一个质地均匀,形状规范的硬币,正面和反面出现的概率是一样的,都是1/2。很多人会有问,为什么正面和反面出现的概率是一样的?显然,硬币是质地均匀,形状规范的,哪一面都不会比另一面有更多的出现机会,正面和反面出现的概率是一样的。这称为古典概型的对称性,体育比赛经常用到这个规律来决定谁开球,谁选场地。为了解释这个现象,在历史上,有很多大师对这个问题进行过验证结果可以看出,随着次数的不断增加,正面出现的频率越来越接近50%,我们也有理由相信,随着次数的继续增加,正面和反面出现的频率将固定在1/2处,即正面和反面出现的概率都为1/2。
这是个典型的古典概型的例子,它的特点是:实验结果只有有限个,而且每个实验结果出现的概率是一样的。正因为这两个特点,我们能够很容易算出来每个实验结果出现的概率,应该是实验结果个数的倒数。如上例中,实验结果只有正面和反面,所以,正面和反面出现的概率为2的倒数1/2[3]  。

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