导数/梯度

 

导数:

导数不仅仅表示该点切线的斜率,还反应了函数在该点的变化率。

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偏导数:

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偏导数仅仅是表示某点在x方向的导数和再y轴方向的导数。

这反应了偏导数的局限性,仅仅是多元函数沿着坐标轴的变化率,但是如上图,在M0点处存在很多方向的偏导数(并不仅仅x和y方向)。这就引出了方向导数。

 

 

方向导数:

我们不仅仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数)还需要设法求得函数在其他方向上的变化率。而方向导数就是函数在其他特定方向上的变化率。

方向导数的定义和导数定义类似,只不过是在多个维度上。例如在三维空间中:

设三元函数f在点P0(x0,y0,z0)的某邻域内有定义,l为从点P0出发的射线,P(x,y,z)为l上且含于邻域内的任一点,以ρ(rou)表示P和P0两点间的距离。若极限

lim( (f(P)-f(P0)) / ρ )= lim (△l f / ρ)(当ρ→0时)

存在,则称此极限为函数f在点P0沿方向l的方向导数

梯度:

由上面的方向导数可知,方向导数是在各个方向上都有,而且每个方向上的变化一般是不一样的,那到底沿哪个方向最大呢?沿哪个方向最小呢?为了研究方便,就有了梯度的定义。

下图是梯度的定义:

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梯度是众多方向导数中最大的那个向量,这个方向就用梯度来表示(grad=ai+bj)这个向量来表示,其中a是函数在x方向上的偏导数,b是函数在y方向上的偏导数,梯度的模就是这个最大方向导数的值。

1. 基本概念

方向导数:是一个数;反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。

偏导数:是多个数(每元有一个);是指多元函数沿坐标轴方向的方向导数,因此二元函数就有两个偏导数。

偏导函数:是一个函数;是一个关于点的偏导数的函数。

梯度:是一个向量;每个元素为函数对一元变量的偏导数;它既有大小(其大小为最大方向导数),也有方向。

2. 方向导数

反映的是f(x,y)在P0点沿方向v的变化率。

例子如下:

2.0 方向导数计算公式

2.1 偏导数

2.2 二元函数偏导数的几何意义

2.3 偏导函数

偏导数与偏导函数的关系:

偏导数是偏导函数在指定点的函数值,因此在求偏导数时,也可先求出偏导函数,然后再将点代入偏导函数,从而求出函数在此点的偏导数。

3. 全微分

4. 梯度

      梯度是一个向量;既有大小,也有方向。

4.1 几何意义

函数z=f(x,y)在点P0处的梯度方向是函数变化率(即方向导数)最大的方向。

梯度的方向就是函数f(x,y)在这点增长最快的方向,梯度的模为方向导数的最大值。

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