正态分布

正态分布(Normal distribution),也称“常态分布”,又名高斯分布(Gaussian distribution),最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线
随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布,记为N(μ,σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布

定理

由于一般的正态总体其图像不一定关于y轴对称,对于任一正态总体,其取值小于x的概率。只要会用它求正态总体在某个特定区间的概率即可。
为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。[1]

 
服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。(标准正态分布表:标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值)范围内的面积比例。)

一维正态分布

随机变量

 

服从一个位置参数为

 

、尺度参数为

 

的概率分布,且其概率密度函数[2] 

则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,记作

 

,读作

 

服从

 

,或

 

服从正态分布。

μ维随机向量具有类似的概率规律时,称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质,例如,多元正态分布的边缘分布仍为正态分布,它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布,特别它的线性组合为一元正态分布。
本词条的正态分布是一维正态分布,此外多维正态分布参见“二维正态分布”。

标准正态分布

 

时,正态分布就成为标准正态分布

性质

正态分布的一些性质:[2]

(1)如果

 

且a与b是实数,那么

 

(参见期望值方差)。

(2)如果

 

 

统计独立的正态随机变量,那么:

它们的和也满足正态分布

 

它们的差也满足正态分布

 
U与V两者是相互独立的。(要求X与Y的方差相等)

(3)如果

 

 

是独立常态随机变量,那么:

它们的积XY服从概率密度函数为p的分布

其中

 

是修正贝塞尔函数(modified Bessel function)

它们的比符合柯西分布,满足

 

(4)如果

 

为独立标准常态随机变量,那么

 

服从自由度为n卡方分布

分布曲线

图形特征

集中性:正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置。
对称性:正态曲线以均数为中心,左右对称,曲线两端永远不与横轴相交。
均匀变动性:正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等于1,相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。

正态分布正态分布
关于μ对称,并在μ处取最大值,在正(负)无穷远处取值为0,在μ±σ处有拐点,形状呈现中间高两边低,正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。

参数含义

正态分布有两个参数,即期望(均数)μ和标准差σ,σ2为方差。

正态分布公式正态分布公式
正态分布具有两个参数μ和σ^2的连续型随机变量的分布,第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值,第二个参数σ^2是此随机变量的方差,所以正态分布记作N(μ,σ2)。
μ是正态分布的位置参数,描述正态分布的集中趋势位置。概率规律为取与μ邻近的值的概率大,而取离μ越远的值的概率越小。正态分布以X=μ为对称轴,左右完全对称。正态分布的期望、均数中位数、众数相同,均等于μ。
σ描述正态分布资料数据分布的离散程度,σ越大,数据分布越分散,σ越小,数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数,σ越大,曲线越扁平,反之,σ越小,曲线越瘦高。
面积分布
1.实际工作中,正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分比,或变量值落在该区间的概率(概率分布)。不同 范围内正态曲线下的面积可用公式计算。
⒉正态曲线下,横轴区间(μ-σ,μ+σ)内的面积为68.268949%。
P{|X-μ|<σ}=2Φ(1)-1=0.6826
横轴区间(μ-1.96σ,μ+1.96σ)内的面积为95.449974%。
P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.9544
横轴区间(μ-2.58σ,μ+2.58σ)内的面积为99.730020%。
P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974
由于“小概率事件”假设检验的基本思想 “小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件,认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。由此可见X落在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率小于千分之三,在实际问题中常认为相应的事件是不会发生的,基本上可以把区间(μ-3σ,μ+3σ)看作是随机变量X实际可能的取值区间,这称之为正态分布的“3σ”原则。
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Spyder Editor

This is a temporary script file.
"""
import numpy as np
import math
import matplotlib.pyplot as plt
mu = 0
sigma = 1
x = np.linspace(mu - 3 * sigma, mu + 3 * sigma, 50)
y = np.exp(-(x - mu) ** 2 / (2 * sigma ** 2)) / (math.sqrt(2 * math.pi) * sigma)
print (x.shape)
print (x)
print (y.shape)
print (y)
plt.plot(x,y,'r-',x,y,'bo',linewidth=2,markersize=8)
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('Y')
plt.title("Gauss Distribution PDF")
plt.grid(True)

 

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