直观解释常数e

指数函数和自然常数 e 的一个直观说明

e 一直困扰着我—不是作为字母,而是作为数学常数。它究竟代表什么呢?

数学书、甚至我所心爱的Wikipedia,都用这样呆板的行话来描述e:

e,作为数学常数,是自然对数的底数。

而当你查找自然对数时,你会得到:

自然对数,原名双曲对数,是以e为底的对数,其中,e是一个无理数常数,近似于2.718281828459。

漂亮的循环引用,就像词典用Byzantine定义labyrinthine一样(译注:Byzantine意为“错综复杂的”,源自“拜占庭”,与后者同义):正确但无益。为啥不用“complicated”这样的日常用语呢?

我不是在挑剔Wikipedia—为了追求严谨,许多数学解释形式而枯燥。但是这样对于试图入手某个主题的新手毫无帮助(在某种意义上,我们都是新手)。

不罗嗦了!我这就对e是什么、为什么重要,分享下我的见解。省省吧,收起严谨的数学书,这有一个微视频,概述了我的见解:

视频:https://youtu.be/yTfHn9Aj7UM

e不仅仅是一个数字

把e描述为“一个近似于2.71828…的常数”就像把pi叫做“一个近似等于3.1415…的无理数”。尽管正确,但是完全遗漏了要点。

Pi是所有圆都共有的周长与直径的比率。它是所有圆固有的一个基本比率,因此在计算圆形、球体、柱体等周长、面积、体而且、表面积中都有影响。Pi很重要,它表明所有圆都是相关联的,更不要提由圆所导出的三角函数(sin,cos,tan)。

e是所有连续增长过程都共有的基本增长率。你可以用e表示一个简单的增长率(其中增长是发生在年末的一个瞬变),同时发现连续型复合增长的影响,其中每一纳秒(或者更快)的增长微乎其微。

只要当系统呈连续型指数级增长,e便会出现:种群密度、放射性衰变、利息计算等等。甚至并不是平稳增长的锯齿状系统都能用e来近似。

就像每个数字都可以认为和1(基本单位)的呈某个比例,每个圆可以认为和单位圆(半径为1)的呈某个比例,同样每个增长率都可以认为和e(单位增长率)的呈某个比例。

因此e并不是一个模糊的、似乎随机的数字。e表示这样的思想,即所有连续型增长系统和某个一般比率呈比例关系。

理解指数增长

首先来看一个基本系统,其在一段时间之后会翻倍。比如,

  • 细菌每24小时分裂并翻倍
  • 把面条对折,我们可以得到两倍数量
  • 如果你(幸运!)得到100%的利润率,那么你的财富每年翻倍。

看起来就像这样:

分裂成两个或者翻倍是一个很普遍的级数。当然我们可以三倍或四倍地增加,但是双倍比较方便,所以这里就随我吧。

数学上,如果分裂x次,那么我们得到原始物品数量的({2^x})倍。一次分裂我们得到({2^{1}})或者2倍。四次分裂我们得到({2^{4}})或者16倍。通用公式:

\displaystyle{ growth = 2^x }

另一种描述方式,双倍也就是100%的增长。我们可以重写公式如下:

\displaystyle{ growth = (1 + 100\%)^x}

虽然等式相同,但我们对2的分割具有真实意义,即原始值(1)加上100%。聪明吧?

当然,我们可以用任意数字(50%,25%,200%)代替100%,然后得到关于新比率的growth公式。因此x个周期的回报的通用公式是:

\displaystyle{growth = (1 + return)^x}

这只是意味着我们连续使用自定义的回报率,(1 + return),“x”次。

深入了解

上述公式假设增长是离散型的。细菌在等待,等待,然后爆发,它们在最后的最后数量加倍;利息收入在一年的刻度处魔幻般出现。基于上述公式的增长是离散的、瞬间发生的,即,绿点突然出现。

事实并非如此,如果我们放大来看,会发现细菌随时间分裂:

绿先生(Mr. Green)不只是突然出现:它缓慢增长,然后脱离蓝先生(Mr. Blue)。一个单位时间(本例中是24小时)之后,绿先生完成生长,然后成熟为蓝细胞,可以创造它自己的新绿细胞。

这个信息会改变我们的等式么?

不!在细菌实例中,半成品的绿细胞仍然做不了任何事情,除非它们完全长大并从蓝色父母中分离。因此,等式保持不变。

金钱改变一切

然而财富却不一样。每收入1便士的利息,这1便士就能开始收入它自己的微便士(micro-pennies)。我们不需要等到收入完整的1美元利息—新的财富不需要成熟。

基于我们旧的公式,利息增长看起来是这样的:

但是这样并不正确:所有的利息出现在最后一天。让我们把一年放大并分为两块。即每年收入100%的利息,或者每6个月收入50%。那么前六个月收入50美分,后六个月收入另外50美分:

但这依然不正确!当然,原始的财富(Mr. Blue)在一年之内收入1美元。但是6个月后收入了其中的50美分,明白了吧,我们之前忽略了这一部分!这50美分本来也有它自己的收入:

因为比率是每半年50%,那50美分本可以收入25美分(50美分的50%)。年末我们可以得到:

  • 原始财富(Mr. Blue)
  • 蓝先生创造的财富(Mr. Green)
  • 绿先生创造的25美分(Mr. Red)

总共得到$2.25,即从初始的财富中收益$1.25,比翻倍要好!

让我们把回报写成公式。两个50%的半周期的growth是:

\displaystyle{growth = (1 + 100\%/2)^{2} = 2.25}

复合增长研究

是时候提升一个等级了。这次不再把增长为为两个50%的增长周期,而把它分为三段33%的增长周期。谁说我们必须等待6个月才能开始收入利息?毫厘必争!

3个复合周期的增长得到下面有趣的图表:

想象每种颜色将收益向上传送给另一种颜色(它的孩子),每个周期增长33%:

  • 0月:初始蓝先生为$1。
  • 4月:蓝先生已经收入它自己的1/3美元,同时创造出的绿先生拥有33美分。
  • 8月:蓝先生收入另外33美分,交给绿先生,绿先生拥有66美分。绿先生在它之前的值上收益33%,创造11美分(33% * 33),这11美分变成红先生。
  • 12月:情况变得略疯狂了。蓝先生收入另外33美分,交给绿先生,绿先生拥有完整的1美元。绿先生在它8月份的值(66美分)上收入33%的回报,即22美分,这22美分加到红先生上,红先生现在总共33美分。而且红先生开始有11美分,并以此收入4美分(33% * 11),创造出紫先生。

哊!12个月后的最终值是:1 + 1 + .33 + .04即2.37。

花点时间真正来搞懂这种增长的原委:

每种颜色从其自身上收入利息,并交给另一种颜色。新创造的财富可以收入它自己的财富,依次循环。

我喜欢把原始量(蓝先生)看做是不变的。蓝先生收益财富来创造绿先生,由于蓝先生不会变化,所以这是稳定的每4个月33美分的收益。图中,蓝先生有一个蓝色箭头显示出他如何喂养绿先生的。

绿先生恰好创造并喂养红先生(绿色箭头),但是蓝先生没有意识到。

绿先生随时间增长(不断被蓝先生喂养),它对红先生贡献越来越多。4-8月间,绿先生给了红先生11美分。8-12月间,因为绿先生在8月份有66美分,所以给了红先生22美分。如果我们扩展下图表,绿先生将给红先生33美分,因为绿先生在12月份达到了完整的1美元。

明白不?开始很费解—我在整合图表时,甚至自己都凌乱了。但看到每一笔财富都能创造收益,收益反过来又创造出收益……

通过在growth等式中使用3个周期,得到这样的公式:

\displaystyle{growth = (1 + 100\%/3)^3 = 2.37037...}

我们挣了$1.37,比上次得到的$1.25更好!

我们可以得到无尽的财富么?

为什么不采用更短的时间周期呢?每月、每天、每小时,甚至每纳秒会怎么样?回报会猛涨么?

回报确实会变得更好,但也只是在某种意义上。尝试在我们魔幻般的公式中使用不同的数字n,来看下总的回报:

n (1 + 1/n)^n
——————
1 2
2 2.25
3 2.37
5 2.488
10 2.5937
100 2.7048
1,000 2.7169
10,000 2.71814
100,000 2.718268
1,000,000 2.7182804

数字越来越大,最终收敛到2.718附近。喂…等等…这看起来像e呢!!

真棒!在令人厌恶的数学术语中,如果在越来越小的时间周期上,连续复合100%的回报,e则被定义为其增长率:

\displaystyle{growth = e = \lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n}

这个极限似乎是收敛的,而且存在相应的证明。但是如你所见,当我们采用更小的时间周期时,总的回报稳定在2.718附近。

但这意味着什么呢?

当在一个时间周期内复合100%的增长时,数字e(2.718…)是最大的可能结果。当然,开始时你期望从1增长到2(一个100%的增长,对吧?)。但是每向前一小步,你所创造的微薄利润本身也在收益。当所有过程指明并结束,你在一个时间周期末最终得到e(2.718…),而不是2。e是最大的,当我们尽可能多地复合100%时,又发生了什么呢?

那么,如果我们以$1.00为开始,以100%的回报连续复合,我们得到1e。如果我们以$2.00为开始,我们得到2e。如果我们以$11.79为开始,我们得到11.79e。

e像是一个速度极限(类似光速c),指明在使用一个连续过程时,可能增长多快。你可能不总是达到速度极限,但它是一个参考点:你可以用这个通用常量的表示每个增长率。

(注:注意将增量和最终结果分离。1变成e(2.718…)是一个171.8%的增量(增长率).e本身是在所有增量考虑进去之后(原始值+增量),你所观测到的最终结果。

如果使用不同的比率呢?

好问题。如果我们以每年50%增长,而不是100%呢?我们依然可以使用e么?

来看看,50%的复合增长应该是这样的:

\displaystyle{\lim_{n\to\infty} \left( 1 + \frac{.50}{n} \right)^n}

嗯…,这里该肿么办?回想下,50%是总的回报,n是将增长分成复合增长的周期数。如果我们取n=50,我们可以将增长分成50块,每块1%的利息:

\displaystyle{\left( 1 + \frac{.50}{50} \right)^{50} = \left( 1 + .01 \right)^{50}}

当然,这不是无穷的,但是已经相当小了。现在想象我们也将常规的100%分割成1%的块:

\displaystyle{e \approx \left( 1 + \frac{1.00}{100} \right)^{100} = \left( 1 + .01 \right)^{100}}

Ah,殊途同归。在我们的常规案例中,有100个1%的累积变化。在50%的场景中,有50个1%的累积变化。

这两个数字间的差异是什么呢?好吧,只是差了一半的变化数目而已:

\displaystyle{\left( 1 + .01 \right)^{50} = \left( 1 + .01 \right)^{100/2} = \left( \left( 1 + .01 \right)^{100}\right)^{1/2} = e^{1/2} }

相当有趣的是,50 / 100 = .5,正是e的指数。这是普遍适用的:如果有300%的增长率,我们可以将它分成300个1%的增长块。这将是标准量的三倍,最终比率为({e^{3}})。

尽管增长可能看起来像加法(+1%),我们需要铭记其实它是乘法(x 1.01)。这正是我们为什么使用指数(重复乘)和平方根(({e^{1/2}})表示变化量的一半,比如,乘数的一半)。

这里取了1%,但我们本可以选择任意小的增长单位(.1%,.0001%,甚至一个无穷小量!)。重点是对于所选取的任意比率,它只是e上的一个新指数而已:

\displaystyle{growth = e^{rate}}

如果使用不同的周期呢?

假设我们以300%增长两年,我们要将一年的增长(({e^{3}}))乘以其自身:

\displaystyle{growth = \left(e^{3}\right)^{2} = e^{6}}

推广之:

\displaystyle{growth = \left(e^{rate}\right)^{time} = e^{rate \cdot time}}

因于指数的魔力,我们可以避免使用两个乘幂,而仅仅在一个指数中将比率和时间相乘。

大秘密:e整合了比率和时间

这也太粗暴了!({e^{3}})可以表示两个东西:

  • X是时间乘以增长率:以100%增长三年是e3
  • X是增长率本身:以300%增长一年是e3

这个重叠不会引起混淆么?公式会不会不成立呢,又是世界末日?

一切正常,当我们写为:

\displaystyle{e^x}

变量x是比率和时间的组合。

\displaystyle{x = rate \cdot time}

我来解释下。当处理连续型复合增长时,10年3%的增长和1年30%的增长是等效的(然后再无增长)。

  • 10年的3%的增长意味着30个1%的变化,这些变化在10年内发生,所以你是以每年3%连续增长。
  • 1个周期的30%的增长意味着30个1%的变化,但是在一年内发生,所以一年增长30%,然后停止。

每个案例中有同样的“30个1%的变化”发生。速率(30%)越快,达到同样的效果所用时间越少(1年)。速率越慢(3%),需要增长的时间越长(10年)。

但是在两个案例中,最后的增长是 e.30 = 1.35。我们更加急切地希望大而快的增长,而不是慢而长的增长,但是e显示出它们的最终效果是一样的。

所以我们的通用公式变为:

\displaystyle{growth = e^x = e^{rt}}

如果我们有t个周期r增长的回报,我们最终的复合增长是 ert。顺便,这甚至对于负的、
小数型回报也适用。

实例时间!

实例使所有事情更有趣。一条速记:我们习惯了像 2x 这样的公式以及常规的复合利息,以至于很容易混淆(包括我自己)。更多阅读—关于简单的复合连续型增长。

这些实例着重于平稳的连续型增长,而不是在年度区间上的跳跃式增长。有很多方法可以在二者之间转换,但我们将把它留给另一篇文章。

实例1:生长的水晶

假设我有 300kg 魔力水晶。它们富有魔力是因为它们每天都会生长:我观察到一颗水晶,其在24小时之内,以自身的重量脱落生成水晶(子水晶以同样的比率立即开始生长,但是我追踪不到,因为我在观察原始的脱落量)。10天之后我将拥有多少?

好的,因为水晶立即开始生长,所以我们希望连续型的增长。我们的比率是每24小时100%,那么10天之后我们得到:300*e1*10 = 6.6Mkg 魔力宝石。

这可能不易理解:注意输入速率和输出速率间的差异。“输入”是一颗水晶的改变量:24小时内100%。最终的输出速率是e(2.718x),因为子水晶自己也在生长。

本例中我们有输入速率(一颗水晶的生长速率),想要复合后(由于子水晶的加入,整个水晶群的生长速率)的全部结果。如果我们有总的生长速率,想要单颗水晶的生长速率,我们可以使用自然对数逆向运算。

实例2:最大利率

假设我有账户上有$120,利率5%。银行很慷慨,给了我最大可能的复合。10年后我将得到多少呢?

我们的比率是5%,而且很幸运得以连续复合。10年之后,我们得到($120*e.05*10 = $197.85)。当然,大多数银行并不是友好地给你最优的比率。你的确切回报和这个连续型模型之间的差异是它们不喜欢你的程度。

实例3:放射性衰变

我有10kg的放射性材料,似乎以每年100%的速率连续衰变。3年后我将有多少呢?

一丁点?0?一无所有?再想想。

每年100%的连续衰减是我们的起始条件。是的,我们确实开始时有10kg,并且预期在年末“失去所有”,因为我们以每年10kg的速率衰变。

过了几个月,我们到达5kg,还剩半年?不!现在我们以每年5kg的衰变,所以此刻开始又是完整的一年!

再等几个月,我们到达2kg。同样,现在我们以每年2kg的速率衰变,所以我们有完整的一年(从此刻开始)。我们到达1kg时,有完整一年,到达.5kg时,有完整一年—看出道道没?

随着时间推移,我们失去了材料,但是衰变速率也在下降。这个不断改变的增长(growth)是连续增长和衰变的本质。

3年后,我们将有(10*e-1*3=.498kg)。我们对衰变使用负的指数—我们想要一个小数 1/ert 与一个增长乘子 ert 做对比。[衰变常常称为“半衰期”—我们将在以后的文章中谈论这些比率的转换。

更多实例

如果你想要更有趣的实例,试试Black-Scholes option formula(注意指数衰变中e的取值)或者radioactive decay(放射性衰变)。目的是看看公式中的 ert,然后理解它存在的原因:它模拟了一种增长或衰变。

那么现在你知道为什么是“e”,而不是pi或者其他什么数字:e的“r*t”次幂告诉你速率r和时间t对增长的影响。

更多学习内容:

我的目标是:

  • 解释e为何重要:它是类似于pi的一个基本常量,出现在增长率中。
  • 给出一个直观解释:e让你看到任意增长率的影响。每个新的“成员”(绿先生,红先生,等等)对总的增长有贡献。
  • 展示他的使用方式:ex让你预测任意增长率和时间周期的影响。
  • 让你渴望学习更多:在即将出炉的文章中,我将研究e的其他属性。

本文只是一个开始—把所有东西塞进一篇文章会使你我一样劳累。放空自己,休息一下,继续学习e的邪恶孪兄—自然对数。

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