6 (机器学习理论)梯度下降法求解最优化问题的原理与步骤

函数的梯度是函数上升的最大方向。 如果要对一个目标函数做最小化,每次只需将目标函数对各个parameters 做偏导,得到梯度,然后用当前parameter加上负梯度乘以一个步长进行更新。 步长太大可能跳出局部最优点。 常用的梯度下降方法有batch gd(使用全部数据计算梯度),SGD(对每个sample计算梯度)。 SGD计算更快,并且能取得不错的效果,而且有时能跳出局部最优,去explore其他更优 的极值点

1. 梯度下降法(Gradient Descent)

梯度下降法是最早最简单,也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单,当目标函数是凸函数时,梯度下降法的解是全局解。一般情况下,其解不保证是全局最优解,梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向,因为该方向为当前位置的最快下降方向,所以也被称为是”最速下降法“。最速下降法越接近目标值,步长越小,前进越慢。

在机器学习中,基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法,分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。

比如对一个线性回归(Linear Logistics)模型,假设下面的h(x)是要拟合的函数,J(theta)为损失函数,theta是参数,要迭代求解的值,theta求解出来了那最终要拟合的函数h(theta)就出来了。其中m是训练集的样本个数,n是特征的个数。

批梯度下降 BGD(Batch Gradient Descent)

或者把1/m  用步长a代替

(3)从上面公式可以注意到,它得到的是一个全局最优解,但是每迭代一步,都要用到训练集所有的数据,如果m很大,那么可想而知这种方法的迭代速度会相当的慢。所以,这就引入了另外一种方法。

随机梯度下降(stochastic gradient descent) or 增量梯度下降(incremental gradient descent)

(3)随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次,如果样本量很大的情况(例如几十万),那么可能只用其中几万条或者几千条的样本,就已经将theta迭代到最优解了,对比上面的批量梯度下降,迭代一次需要用到十几万训练样本,一次迭代不可能最优,如果迭代10次的话就需要遍历训练样本10次。但是,SGD伴随的一个问题是噪音较BGD要多,使得SGD并不是每次迭代都向着整体最优化方向。

 

随机梯度下降每次迭代只使用一个样本,迭代一次计算量为n2,当样本个数m很大的时候,随机梯度下降迭代一次的速度要远高于批量梯度下降方法。两者的关系可以这样理解:随机梯度下降方法以损失很小的一部分精确度和增加一定数量的迭代次数为代价,换取了总体的优化效率的提升。增加的迭代次数远远小于样本的数量。

对批量梯度下降法和随机梯度下降法的总结:

批量梯度下降—最小化所有训练样本的损失函数,使得最终求解的是全局的最优解,即求解的参数是使得风险函数最小,但是对于大规模样本问题效率低下。

随机梯度下降—最小化每条样本的损失函数,虽然不是每次迭代得到的损失函数都向着全局最优方向, 但是大的整体的方向是向全局最优解的,最终的结果往往是在全局最优解附近,适用于大规模训练样本情况。

 

2 牛顿法和拟牛顿法(Newton’s method & Quasi-Newton Methods)

从本质上去看,牛顿法是二阶收敛,梯度下降是一阶收敛,所以牛顿法就更快。如果更通俗地说的话,比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部,梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步,牛顿法在选择方向时,不仅会考虑坡度是否够大,还会考虑你走了一步之后,坡度是否会变得更大。所以,可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点,能更快地走到最底部。

推广为向量的情况 

其中表达式中  表示的ℓ(θ)对  的偏导数;H是一个n*n的矩阵,称为Hessian矩阵 。Hessian矩阵的表达式为:

牛顿法的优缺点总结:

  优点:二阶收敛,收敛速度快;

  缺点:牛顿法是一种迭代算法,每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵,计算比较复杂。

 

   拟牛顿法(Quasi-Newton Methods)

拟牛顿法的本质思想是改善牛顿法每次需要求解复杂的Hessian矩阵的逆矩阵的缺陷,它使用正定矩阵来近似Hessian矩阵的逆,从而简化了运算的复杂度。拟牛顿法和最速下降法一样只要求每一步迭代时知道目标函数的梯度。通过测量梯度的变化,构造一个目标函数的模型使之足以产生超线性收敛性。这类方法大大优于最速下降法,尤其对于困难的问题。另外,因为拟牛顿法不需要二阶导数的信息,所以有时比牛顿法更为有效。如今,优化软件中包含了大量的拟牛顿算法用来解决无约束,约束,和大规模的优化问题。

常用的拟牛顿法有DFP算法和BFGS算法(http://blog.csdn.net/qq_27231343/article/details/51791138)

3. 共轭梯度法(Conjugate Gradient)

共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法,它仅需利用一阶导数信息,但克服了最速下降法收敛慢的缺点,又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点,共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一,也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。 在各种优化算法中,共轭梯度法是非常重要的一种。其优点是所需存储量小,具有步收敛性,稳定性高,而且不需要任何外来参数。

(https://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method#Example_code_in_MATLAB)

4. 启发式优化方法

启发式方法指人在解决问题时所采取的一种根据经验规则进行发现的方法。其特点是在解决问题时,利用过去的经验,选择已经行之有效的方法,而不是系统地、以确定的步骤去寻求答案。启发式优化方法种类繁多,包括经典的模拟退火方法、遗传算法、蚁群算法以及粒子群算法等等。

还有一种特殊的优化算法被称之多目标优化算法,它主要针对同时优化多个目标(两个及两个以上)的优化问题,这方面比较经典的算法有NSGAII算法、MOEA/D算法以及人工免疫算法等。

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