什么是逻辑回归?

Logistic回归与多重线性回归实际上有很多相同之处,最大的区别就在于它们的因变量不同,其他的基本都差不多。正是因为如此,这两种回归可以归于同一个家族,即广义线性模型(generalizedlinear model)。

这一家族中的模型形式基本上都差不多,不同的就是因变量不同。

  • 如果是连续的,就是多重线性回归;
  • 如果是二项分布,就是Logistic回归;
  • 如果是Poisson分布,就是Poisson回归;
  • 如果是负二项分布,就是负二项回归。

Logistic回归的因变量可以是二分类的,也可以是多分类的,但是二分类的更为常用,也更加容易解释。所以实际中最常用的就是二分类的Logistic回归。

Logistic回归的主要用途:

  • 寻找危险因素:寻找某一疾病的危险因素等;
  • 预测:根据模型,预测在不同的自变量情况下,发生某病或某种情况的概率有多大;
  • 判别:实际上跟预测有些类似,也是根据模型,判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大,也就是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。

Logistic回归主要在流行病学中应用较多,比较常用的情形是探索某疾病的危险因素,根据危险因素预测某疾病发生的概率,等等。例如,想探讨胃癌发生的危险因素,可以选择两组人群,一组是胃癌组,一组是非胃癌组,两组人群肯定有不同的体征和生活方式等。这里的因变量就是是否胃癌,即“是”或“否”,自变量就可以包括很多了,例如年龄、性别、饮食习惯、幽门螺杆菌感染等。自变量既可以是连续的,也可以是分类的。

 

常规步骤

Regression问题的常规步骤为:

  1. 寻找h函数(即hypothesis);
  2. 构造J函数(损失函数);
  3. 想办法使得J函数最小并求得回归参数(θ)

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在之前博客中,我们对Boosting家族的Adaboost算法做了总结,本文就对Boosting家族中另一个重要的算法梯度提升树(Gradient Boosting Decison Tree, 以下简称GBDT)做一个总结。GBDT有很多简称,有GBT(Gradient Boosting Tree), GTB(Gradient Tree Boosting ), GBRT(Gradient Boosting Regression Tree), MART(Multiple Additive Regression Tree),其实都是指的同一种算法,本文统一简称GBDT。GBDT在BAT大厂中也有广泛的应用,假如要选择3个最重要的机器学习算法的话,个人认为GBDT应该占一席之地。

1. GBDT概述

GBDT也是集成学习Boosting家族的成员,但是却和传统的Adaboost有很大的不同。回顾下Adaboost,我们是利用前一轮迭代弱学习器的误差率来更新训练集的权重,这样一轮轮的迭代下去。GBDT也是迭代,使用了前向分布算法,但是弱学习器限定了只能使用CART回归树模型,同时迭代思路和Adaboost也有所不同。

    在GBDT的迭代中,假设我们前一轮迭代得到的强学习器是ft-1(x)损失函数是L(y,ft-1(x)) 我们本轮迭代的目标是找到一个CART回归树模型的弱学习器ht(x),让本轮的损失L(t,ft-1(x)+ht(x))最小。也就是说,本轮迭代找到决策树,要让样本的损失尽量变得更小。

 

GBDT的思想可以用一个通俗的例子解释,假如有个人30岁,我们首先用20岁去拟合,发现损失有10岁,这时我们用6岁去拟合剩下的损失,发现差距还有4岁,第三轮我们用3岁拟合剩下的差距,差距就只有一岁了。如果我们的迭代轮数还没有完,可以继续迭代下面,每一轮迭代,拟合的岁数误差都会减小。

 

从上面的例子看这个思想还是蛮简单的,但是有个问题是这个损失的拟合不好度量,损失函数各种各样,怎么找到一种通用的拟合方法呢?

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中文名 随机森林
外文名 Random forest

定义

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机器学习中,随机森林是一个包含多个决策树的分类器, 并且其输出的类别是由个别树输出的类别的众数而定。 Leo Breiman和Adele Cutler发展出推论出随机森林的算法。 而 “Random Forests” 是他们的商标。 这个术语是1995年由贝尔实验室的Tin Kam Ho所提出的随机决策森林(random decision forests)而来的。这个方法则是结合 Breimans 的 “Bootstrap aggregating” 想法和 Ho 的”random subspace method”以建造决策树的集合。

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原创 2016年05月05日 14:42:58

        支持向量机是属于原创性、非组合的具有明显直观几何意义的分类算法,具有较高的准确率。

使用SVM算法的思路:(1)简单情况,线性可分情况,把问题转化为一个凸优化问题,可以用拉格朗日乘子法简化,然后用既有的算法解决;(2)复杂情况,线性不可分,用核函数将样本投射到高维空间,使其变成线性可分的情形,利用核函数来减少高纬度计算量。

    一、SVM相关基本概念

  分割超平面

设C和D为两不相交的凸集,则存在超平面P,P可以将C和D分离。 

两个集合的距离,定义为两个集合间元素的最短距离。

做集合C和集合D最短线段的垂直平分线。
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作者:塞南的雪
链接:https://www.zhihu.com/question/34554321/answer/152478734
来源:知乎
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权,非商业转载请注明出处。

聚类算法有好几种不同的分类方法,说三种常见的大类吧。

  1. partitional clustering
  2. Hierarchical clustering
  3. Density-based clustering
  • 划分聚类

最典型的就是K-means。原理就不说了。前面也有答主提到你可以使用不同的邻近度函数。

 
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极大似然估计

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极大似然估计方法(Maximum Likelihood Estimate,MLE)也称为最大概似估计或最大似然估计,是求估计的另一种方法,最大概似是1821年首先由德国数学家高斯(C. F. Gauss)提出,但是这个方法通常被归功于英国的统计学家。罗纳德·费希尔(R. A. Fisher)

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回归问题的条件/前提:

1) 收集的数据

2) 假设的模型,即一个函数,这个函数里含有未知的参数,通过学习,可以估计出参数。然后利用这个模型去预测/分类新的数据。

 

1. 线性回归

假设 特征 和 结果 都满足线性。即不大于一次方。这个是针对 收集的数据而言。
收集的数据中,每一个分量,就可以看做一个特征数据。每个特征至少对应一个未知的参数。这样就形成了一个线性模型函数,向量表示形式:

 

这个就是一个组合问题,已知一些数据,如何求里面的未知参数,给出一个最优解。 一个线性矩阵方程,直接求解,很可能无法直接求解。有唯一解的数据集,微乎其微。

基本上都是解不存在的超定方程组。因此,需要退一步,将参数求解问题,转化为求最小误差问题,求出一个最接近的解,这就是一个松弛求解。

 

求一个最接近解,直观上,就能想到,误差最小的表达形式。仍然是一个含未知参数的线性模型,一堆观测数据,其模型与数据的误差最小的形式,模型与数据差的平方和最小:

这就是损失函数的来源。接下来,就是求解这个函数的方法,有最小二乘法,梯度下降法。

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%BB%84

最小二乘法

是一个直接的数学求解公式,不过它要求X是列满秩的,

梯度下降法

分别有梯度下降法,批梯度下降法,增量梯度下降。本质上,都是偏导数,步长/最佳学习率,更新,收敛的问题。这个算法只是最优化原理中的一个普通的方法,可以结合最优化原理来学,就容易理解了。

 

2. 逻辑回归

逻辑回归与线性回归的联系、异同?

逻辑回归的模型 是一个非线性模型,sigmoid函数,又称逻辑回归函数。但是它本质上又是一个线性回归模型,因为除去sigmoid映射函数关系,其他的步骤,算法都是线性回归的。可以说,逻辑回归,都是以线性回归为理论支持的。

只不过,线性模型,无法做到sigmoid的非线性形式,sigmoid可以轻松处理0/1分类问题。

 

另外它的推导含义:仍然与线性回归的最大似然估计推导相同,最大似然函数连续积(这里的分布,可以使伯努利分布,或泊松分布等其他分布形式),求导,得损失函数。

\begin{align}J(\theta) = -\frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^m y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) + (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) \right]\end{align}

逻辑回归函数

f(t) = \frac{e^t}{e^t+1} = \frac{1}{1+e^{-t}},  表现了0,1分类的形式。

应用举例:

是否垃圾邮件分类?

是否肿瘤、癌症诊断?

是否金融欺诈?

 

3. 一般线性回归

线性回归 是以 高斯分布 为误差分析模型; 逻辑回归 采用的是 伯努利分布 分析误差。

而高斯分布、伯努利分布、贝塔分布、迪特里特分布,都属于指数分布。

而一般线性回归,在x条件下,y的概率分布 p(y|x) 就是指 指数分布.

经历最大似然估计的推导,就能导出一般线性回归的 误差分析模型(最小化误差模型)。

 

softmax回归就是 一般线性回归的一个例子。

有监督学习回归,针对多类问题(逻辑回归,解决的是二类划分问题),如数字字符的分类问题,0-9,10个数字,y值有10个可能性。

而这种可能的分布,是一种指数分布。而且所有可能的和 为1,则对于一个输入的结果,其结果可表示为:

 

\begin{align}h_\theta(x^{(i)}) =\begin{bmatrix}p(y^{(i)} = 1 | x^{(i)}; \theta) \\p(y^{(i)} = 2 | x^{(i)}; \theta) \\\vdots \\p(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta)\end{bmatrix}=\frac{1}{ \sum_{j=1}^{k}{e^{ \theta_j^T x^{(i)} }} }\begin{bmatrix}e^{ \theta_1^T x^{(i)} } \\e^{ \theta_2^T x^{(i)} } \\\vdots \\e^{ \theta_k^T x^{(i)} } \\\end{bmatrix}\end{align}

参数是一个k维的向量。
而代价函数:
\begin{align}J(\theta) = - \frac{1}{m} \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{k} 1\left\{y^{(i)} = j\right\} \log \frac{e^{\theta_j^T x^{(i)}}}{\sum_{l=1}^k e^{ \theta_l^T x^{(i)} }}\right]\end{align}

是逻辑回归代价函数的推广。

 

 

而对于softmax的求解,没有闭式解法(高阶多项方程组求解),仍用梯度下降法,或L-BFGS求解。

 

当k=2时,softmax退化为逻辑回归,这也能反映softmax回归是逻辑回归的推广。

 

线性回归,逻辑回归,softmax回归 三者联系,需要反复回味,想的多了,理解就能深入了。

 

4. 拟合:拟合模型/函数

由测量的数据,估计一个假定的模型/函数。如何拟合,拟合的模型是否合适?可分为以下三类

合适拟合

欠拟合

过拟合

 

看过一篇文章(附录)的图示,理解起来很不错:

欠拟合:
逻辑回归欠拟合-我爱公开课-52opencourse.com

 

合适的拟合
逻辑回归合适的拟合-我爱公开课-52opencourse.com

过拟合
逻辑回归过拟合-我爱公开课-52opencourse.com

过拟合的问题如何解决?

问题起源?模型太复杂,参数过多,特征数目过多。

方法: 1) 减少特征的数量,有人工选择,或者采用模型选择算法

http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2011/01/02/1924088.html (特征选择算法的综述)

2) 正则化,即保留所有特征,但降低参数的值的影响。正则化的优点是,特征很多时,每个特征都会有一个合适的影响因子。

 

5. 概率解释:线性回归中为什么选用平方和作为误差函数?

假设模型结果与测量值 误差满足,均值为0的高斯分布,即正态分布。这个假设是靠谱的,符合一般客观统计规律。

数据x与y的条件概率:

若使 模型与测量数据最接近,那么其概率积就最大。概率积,就是概率密度函数的连续积,这样,就形成了一个最大似然函数估计。对最大似然函数估计进行推导,就得出了求导后结果: 平方和最小公式

 

6. 参数估计 与 数据的关系

拟合关系

 

7. 错误函数/代价函数/损失函数:

线性回归中采用平方和的形式,一般都是由模型条件概率的最大似然函数 概率积最大值,求导,推导出来的。

统计学中,损失函数一般有以下几种:

1) 0-1损失函数

L(Y,f(X))={1,0,Yf(X)Y=f(X)

2) 平方损失函数

L(Y,f(X))=(Yf(X))2

3) 绝对损失函数

L(Y,f(X))=|Yf(X)|

4) 对数损失函数

L(Y,P(Y|X))=logP(Y|X)

损失函数越小,模型就越好,而且损失函数 尽量 是一个凸函数,便于收敛计算。

线性回归,采用的是平方损失函数。而逻辑回归采用的是 对数 损失函数。 这些仅仅是一些结果,没有推导。

 

8. 正则化:

为防止过度拟合的模型出现(过于复杂的模型),在损失函数里增加一个每个特征的惩罚因子。这个就是正则化。如正则化的线性回归 的 损失函数:

正则化正式的定义-我爱公开课-52opencourse.com

lambda就是惩罚因子。

正则化是模型处理的典型方法。也是结构风险最小的策略。在经验风险(误差平方和)的基础上,增加一个惩罚项/正则化项。

线性回归的解,也从

θ=(XTX)1XTy

 

转化为

不可逆后的正规方程-我爱公开课-52opencourse.com

括号内的矩阵,即使在样本数小于特征数的情况下,也是可逆的。

 

逻辑回归的正则化:

正则化逻辑回归Cost Function-我爱公开课-52opencourse.com

 

从贝叶斯估计来看,正则化项对应模型的先验概率,复杂模型有较大先验概率,简单模型具有较小先验概率。这个里面又有几个概念。

什么是结构风险最小化?先验概率?模型简单与否与先验概率的关系?

 

经验风险、期望风险、经验损失、结构风险

期望风险(真实风险),可理解为 模型函数固定时,数据 平均的 损失程度,或“平均”犯错误的程度。 期望风险是依赖损失函数和概率分布的。

只有样本,是无法计算期望风险的。

所以,采用经验风险,对期望风险进行估计,并设计学习算法,使其最小化。即经验风险最小化(Empirical Risk Minimization)ERM,而经验风险是用损失函数来评估的、计算的。

对于分类问题,经验风险,就训练样本错误率。

对于函数逼近,拟合问题,经验风险,就平方训练误差。

对于概率密度估计问题,ERM,就是最大似然估计法。

 

而经验风险最小,并不一定就是期望风险最小,无理论依据。只有样本无限大时,经验风险就逼近了期望风险。

如何解决这个问题? 统计学习理论SLT,支持向量机SVM就是专门解决这个问题的。

有限样本条件下,学习出一个较好的模型。

由于有限样本下,经验风险Remp[f]无法近似期望风险R[f] 。因此,统计学习理论给出了二者之间的关系:R[f] <= ( Remp[f] + e )

而右端的表达形式就是结构风险,是期望风险的上界。而e = g(h/n)是置信区间,是VC维h的增函数,也是样本数n的减函数。

VC维的定义在 SVM,SLT中有详细介绍。e依赖h和n,若使期望风险最小,只需关心其上界最小,即e最小化。所以,需要选择合适的h和n。这就是结构风险最小化Structure Risk Minimization,SRM.

SVM就是SRM的近似实现,SVM中的概念另有一大筐。就此打住。

 

1范数,2范数 的物理意义:

范数,能将一个事物,映射到非负实数,且满足非负性,齐次性,三角不等式。是一个具有“长度”概念的函数。

1范数为什么能得到稀疏解?

压缩感知理论,求解与重构,求解一个L1范数正则化的最小二乘问题。其解正是 欠定线性系统的解。

2范数为什么能得到最大间隔解?

2范数代表能量的度量单位,用来重构误差。

以上几个概念理解需要补充。

 

9. 最小描述长度准则:

即一组实例数据,存储时,利用一模型,编码压缩。模型长度,加上压缩后长度,即为该数据的总的描述长度。最小描述长度准则,就是选择 总的描述长度最小的模型。

最小描述长度MDL准则,一个重要特性就是避免过度拟合现象。

如利用贝叶斯网络,压缩数据,一方面, 模型自身描述长度 随模型复杂度的增加而增加 ; 另一方面, 对数据集描述的长度随模型复杂度的增加而下降。因此, 贝叶斯网络的 MD L总是力求在模型精度和模型复杂度之间找到平衡。当模型过于复杂时,最小描述长度准则就会其作用,限制复杂程度。

奥卡姆剃刀原则:

如果你有两个原理,它们都能解释观测到的事实,那么你应该使用简单的那个,直到发现更多的证据。

万事万物应该尽量简单,而不是更简单。

 

11. 凸松弛技术:

将组合优化问题,转化为易于求解极值点的凸优化技术。凸函数/代价函数的推导,最大似然估计法。

 

12. 牛顿法求解 最大似然估计

前提条件:求导迭代,似然函数可导,且二阶可导。

迭代公式:

若是 向量形式,

H就是 n*n 的hessian矩阵了。

特征:当靠近极值点时,牛顿法能快速收敛,而在远离极值点的地方,牛顿法可能不收敛。 这个的推导?

这点是与梯度下降法的收敛特征是相反的。

 

线性与非线性:

线性,一次函数;非线性,输入、输出不成正比,非一次函数。

线性的局限性:xor问题。线性不可分,形式:

x  0

0  x

而线性可分,是只用一个线性函数,将数据分类。线性函数,直线。

线性无关:各个独立的特征,独立的分量,无法由其他分量或特征线性表示。

 

核函数的物理意义:

映射到高维,使其变得线性可分。什么是高维?如一个一维数据特征x,转换为(x,x^2, x^3),就成为了一个三维特征,且线性无关。一个一维特征线性不可分的特征,在高维,就可能线性可分了。

 

逻辑回归logicalistic regression 本质上仍为线性回归,为什么被单独列为一类?

其存在一个非线性的映射关系,处理的一般是二元结构的0,1问题,是线性回归的扩展,应用广泛,被单独列为一类。

而且如果直接应用线性回归来拟合 逻辑回归数据,就会形成很多局部最小值。是一个非凸集,而线性回归损失函数 是一个 凸函数,即最小极值点,即是全局极小点。模型不符。

非凸函数-我爱公开课-52opencourse.com

 

若采用 逻辑回归的 损失函数,损失函数就能形成一个 凸函数。

 

凸函数-我爱公开课-52opencouse.com

 

 

多项式样条函数拟合

多项式拟合,模型是一个多项式形式;样条函数,模型不仅连续,而且在边界处,高阶导数也是连续的。好处:是一条光滑的曲线,能避免边界出现震荡的形式出现(龙格线性)
http://baike.baidu.com/view/301735.htm

 

以下是几个需慢慢深入理解的概念:

无结构化预测模型

 

结构化预测模型

什么是结构化问题?

 

adaboost, svm, lr 三个算法的关系。

三种算法的分布对应 exponential loss(指数 损失函数), hinge loss, log loss(对数损失函数), 无本质区别。应用凸上界取代0、1损失,即凸松弛技术。从组合优化到凸集优化问题。凸函数,比较容易计算极值点。